É vulgar ouvir-se dizer que ciências matemáticas são as mais difíceis que estudamos. É uma opinião escolar. Os filósofos sentem doutra maneira: apresentam-nos esta ciência marcada com só uma cruz quando se trata da classificação das ciências no ponto de vista da sua simplicidade.

Sabe-se o que eles querem dizer: as matemáticas tem de ser forçosamente simples, visto serem obra exclusiva do raciocínio. A física é com certeza mais difícil; visto que o seu estudo implica o exercício do raciocínio complicado pela observação e experiência.

Depois fazem a hist6ria das ciências, e comparando esses registos cronol6gicos das ideias, acham que as matemáticas puras progrediram mais rapidamente; todas as outras ciências marcaram passo, e so registaram avanços condicionados pelo desenvolvimento das matemáticas.

Por outras palavras, as matemáticas são necessariamente simples, porque são puras abstracções do nosso espírito; a química por exemplo, por exemplo é muito mais difícil porque bole com a realidade que é de uma espantosa variedade.

O primeiro que focou a extrema simplicidade das matemáticas, foi Augusto Comte. Mas dizem alguns que foi Descartes. Corre que esse pensador apreendeu em toda a sua turbida profundidade o fosso escancarado que interdiz a compreensão dos factos à Inteligência humana. E que achando extremamente fácil o conceptualismo geométrico aconselhou a reduzir a fórmulas algébricas todo o conhecimento do visível e do invisível.

A este respeito marcaram uma notável etapa do pensamento estas palavras de Hamlet:

«.There are more things in heaven, in heart Horatio, 'Then are dreamed of in your philosophy... "

Não compreendemos perfeitamente a sugestão cartesiana: as matemáticas são como as categorias lógicas de que falam os Kantianos; são quadros formais do entendimento. O que se puder ajustar nos seus moldes, é inteligível, o que transcende os seus acanhados limites, nos escapará eternamente.

O saber pode assim agrupar-se em duas grandes divisões correspondentes aos dois grandes mundos, o exterior e o interior. Há as ciências que servem à introspecção; e as ciências que respeitam a extrospecção. As proposições matemáticas, são as representações analíticas, as

Fórmulas algébricas marcam ate onde alcança a nossa psicologia individual. Pode haver tantas geometrias quantas as psicologias. E estas são igualmente verdadeiras, mesmo que chegassem às vezes a Conclusões diametralmente opostas. Por outra palavras uma matemática e uma criação pessoal; é a mais ondulante, colorida e adaptável expressão da nossa alma,

Nestas condições, o estudioso que seja só profundo nas coisas da geometria, nada sabe do mundo exterior. Não passa de um ignorante completo da pluralidade que o rodeia. Nesse ponto é um analfabeto. Conhece-se apenas a si mesmo. Mas esta mais preparado que qualquer outro para vir a saber.

Esta na posse de um instrumento indispensável do conhecimento. Mas nada sabe da realidade. Aprender é ajustar os fenómenos e os objectos que o cercam nessas armações tipos. O que lá não couber lhe ficara inc6gnito. E' cego de nascença para tudo o mais. Nas nossas discussões académicas batem-se muito as opiniões do ilustre Dupanloup, o famoso pedagogo francês, bispo de Orleães, acerca do, acerca do perigo das matemáticas. A esta luz são dignas do no nosso aplauso as suas mais arrojadas conclusões.

A matemática a mais a abstracta das ciências; todos os seus resultados exprimem não realidades concretas, mas as leis gerais do entendimento das coisas; é o esboço de urn psicologia. E' uma ciência fundamental. Todas as outras são concretas; analisam as coisas ou os seres apresentados pela experiência em toda a complexidade dos seus caracteres; são ciências derivadas; são as que na verdade mais interessa conhecer, a física a química, a botânica, a zoologia, a história, etc. O fi1ósofo não pode passar sem as matemáticas, que não são o saber, são as possibilidades do saber.

As matemáticas estão voltadas para dentro, são o espelho da alma; para aprender é preciso tomar contacto com a realidade, que se não deixa facilmente ajustar dentro das nossas f6rmulas e representações

Vamos enunciar uma proposição, em seguida, para qual até aqui só temos preparado o salto.

A censura mais grave que se tem feito à classificação das ciências segundo Augusto Comte é que o ilustre pensador parece que se esqueceu da psicologia. Os fenómenos morais para este filósofo, reduzem-se a meros acontecimentos cerebrais, a simples estados de alma. Os factos conscientes, dizem os seus críticos, foram relegados para um segundo plano. E' uma lacuna deplorável, dizem.

Como estão enganados! Se o fil6sofo põe as matemáticas a cabeça da lista, não se pode afirmar que ele omitiu a psicologia. Isso quer antes dizer que a pôs em primeiro plano, pois as matemáticas são a expressão mais alta das criações do espírito, das modificações cérebro, e portando da psicologia.

O fundador do positivismo não tinha nada que incluir a psicologia na sua classificação das ciências. Se fez assim pelo conceito que tinha desta ciência foi coerente consigo mesmo.

Vamos ainda chamar a atenção para o critério da simplicidade adoptado por Augusto Comte.

Está em berrante contraste com o espírito cronológico adoptado com o critério cronológico adoptado pela pedagogia contemporânea.

Os três ciclos do liceu correspondem a três idades da filosofia. No estudo da matemática, o escolar segue a passo e passo a história das ideias.

No primeiro ciclo dão-lhe os métodos grosseiros, os mais simples alogarítmos, os mais rudimentares conhecimentos da cultura primitiva.

Os principiantes têm de se contentar com a Escola de Alexandria, as primeiras luzes das matemáticas egípcias, o dilúculo da cultura matemática grega e romana. No segundo ciclo os programas incidem principalmente na matemática tão engenhosa dos Índios e dos Árabes. No 3º ciclo faz-se uma revisão da ciência matemática antiga, com um grande desenvolvimento de Álgebra, Geometria e Trigonometria; o aluno revive o século de Descartes e deixam-no à porta das matemáticas modernas onde vêm recebe-lo Newton e Leibniz.

Desse ensino matemático, rigorosamente paralelo ao desenvolvimento natural desta ciência, resultou esta coisa que parece um contra-senso e tem afinal a sua explicação lógica no estudo das matemáticas o mais difícil é o primeiro ciclo.

Daí em diante a dificuldade vai-se atenuando progressivamente e é já pequena no terceiro ciclo.

Segundo os filósofos que classificam as ciências pelo seu grau de simplicidade, a explicação é esta: a matemática grega tinha ainda muito de concreto, os ábacos e os cálculos pitagóricos com pedrinhas. A medida que a abstracção progride, a simplicidade aumenta pela introdução de métodos mais fecundos, os métodos modernos.

Tentarei arrematar com uma nota humorística. Vamos ver se consigo ter graça.

"Intimamente" eu não estou convencido da simplicidade das matemáticas.

Coitado de mim, tenho cá as minhas dificuldades e não levo muito a bem que me andem sempre a soprar aos ouvidos com a encantadora simplicidade do ax+by.

Um dia tinha um bico-de-obra para resolver, a que não dava volta nenhuma, nem para trás nem para diante, fui ter com um destes gabarolas para quem a matemática é um mar de rosas e pus-lhe a questão sem mais cerimónias. Nem quis ver disse-me que passasse adiante. Respondi-lhe que dessas maneira, realmente nada havia mais simples que as matemáticas: quando aparece uma dificuldade passa-se adiante. Gostava de ver isso escrito, disse eu, com o conhecido cepticismo de S. Tomé.

Ele não se desconcertou. Foi à estante, trouxe de lá um grosso volume, que eu vi pela lombada ser a Mecânica Racional de Lagrange e mandou-me ler o prefácio. Fiquei espantado: é o método que lá se aconselha. Perguntei-lhe então se aquele autor era de absoluta confiança. Abriu muito a boca em prolapsos de espanto, e só me disse isto: é o homem do princípio dos trabalhos virtuais. É aqui que está a graça da anedota: respondi-lhe que ao passar em branco as dificuldades era bem um «trabalho virtual»

E não me conformando com o que magister dixit, queria que pelo menos houvesse dois doutores da mesma opinião. Mandou-me ler Poincaré, Science et Méthode, cuja doutrina é mais espantosa ainda e eu resumo assim: «as matemáticas são tão simples que nem precisam de estudo; para as suas dificuldades, o melhor é pô-las de parte; o próprio inconsciente se encarrega da sua resolução. É o cúmulo!

Vamos enunciar uma proposição, em seguida, para qual até aqui só temos preparado o salto.

A censura mais grave que se tem feito à classificação das ciências segundo Augusto Comte é que o ilustre pensador parece que se esqueceu da psicologia. Os fenómenos morais para este filósofo, reduzem-se a meros acontecimentos cerebrais, a simples estados de alma. Os factos conscientes, dizem os seus críticos, foram relegados para um segundo plano. E' uma lacuna deplorável, dizem.

Como estão enganados! Se o fil6sofo põe as matemáticas a cabeça da lista, não se pode afirmar que ele omitiu a psicologia. Isso quer antes dizer que a pôs em primeiro plano, pois as matemáticas são a expressão mais alta das criações do espírito, das modificações cérebro, e portando da psicologia.

O fundador do positivismo não tinha nada que incluir a psicologia na sua classificação das ciências. Se fez assim pelo conceito que tinha desta ciência foi coerente consigo mesmo.

Vamos ainda chamar a atenção para o critério da simplicidade adoptado por Augusto Comte.

Está em berrante contraste com o espírito cronológico adoptado com o critério cronológico adoptado pela pedagogia contemporânea.

Os três ciclos do liceu correspondem a três idades da filosofia. No estudo da matemática, o escolar segue a passo e passo a história das ideias.

No primeiro ciclo dão-lhe os métodos grosseiros, os mais simples alogarítmos, os mais rudimentares conhecimentos da cultura primitiva.

Os principiantes têm de se contentar com a Escola de Alexandria, as primeiras luzes das matemáticas egípcias, o dilúculo da cultura matemática grega e romana. No segundo ciclo os programas incidem principalmente na matemática tão engenhosa dos Índios e dos Árabes. No 3º ciclo faz-se uma revisão da ciência matemática antiga, com um grande desenvolvimento de Álgebra, Geometria e Trigonometria; o aluno revive o século de Descartes e deixam-no à porta das matemáticas modernas onde vêm recebe-lo Newton e Leibniz.

Desse ensino matemático, rigorosamente paralelo ao desenvolvimento natural desta ciência, resultou esta coisa que parece um contra-senso e tem afinal a sua explicação lógica no estudo das matemáticas o mais difícil é o primeiro ciclo.

Daí em diante a dificuldade vai-se atenuando progressivamente e é já pequena no terceiro ciclo.

Segundo os filósofos que classificam as ciências pelo seu grau de simplicidade, a explicação é esta: a matemática grega tinha ainda muito de concreto, os ábacos e os cálculos pitagóricos com pedrinhas. A medida que a abstracção progride, a simplicidade aumenta pela introdução de métodos mais fecundos, os métodos modernos.

Tentarei arrematar com uma nota humorística. Vamos ver se consigo ter graça.

"Intimamente" eu não estou convencido da simplicidade das matemáticas.

Coitado de mim, tenho cá as minhas dificuldades e não levo muito a bem que me andem sempre a soprar aos ouvidos com a encantadora simplicidade do ax+by.

Um dia tinha um bico-de-obra para resolver, a que não dava volta nenhuma, nem para trás nem para diante, fui ter com um destes gabarolas para quem a matemática é um mar de rosas e pus-lhe a questão sem mais cerimónias. Nem quis ver disse-me que passasse adiante. Respondi-lhe que dessas maneira, realmente nada havia mais simples que as matemáticas: quando aparece uma dificuldade passa-se adiante. Gostava de ver isso escrito, disse eu, com o conhecido cepticismo de S. Tomé.

Ele não se desconcertou. Foi à estante, trouxe de lá um grosso volume, que eu vi pela lombada ser a Mecânica Racional de Lagrange e mandou-me ler o prefácio. Fiquei espantado: é o método que lá se aconselha. Perguntei-lhe então se aquele autor era de absoluta confiança. Abriu muito a boca em prolaspsos de espanto, e só me disse isto: é o homem do princípio dos trabalhos virtuais. É aqui que está a graça da anedota: respondi-lhe que ao passar em branco as dificuldades era bem um «trabalho virtual»

E não me conformando com o que magister dixit, queria que pelo menos houvesse dois doutores da mesma opinião. Mandou-me ler Poincaré, Science et Méthode, cuja doutrina é mais espantosa ainda e eu resumo assim: «as matemáticas são tão simples que nem precisam de estudo; para as suas dificuldades, o melhor é pô-las de parte; o próprio inconsciente se encarrega da sua resolução. É o cúmulo!